Quantifying the doubling edge in tournament poker

Since David Sklansky wrote about no-limit tournament poker, the idea of not jeopardizing your whole stack early in a poker tournament, even as a (small) favorite, has spread through the mind of the I-think-I-have-an-edge-over-the-field poker players. And this led to numerous mistakes.

As far as subjective evaluation and poker ego are concerned, almost every single poker player is a one-of-a-kind in the top league. Which means, passing a slight edge should be the right play. But who knows exactly where the line between slight and crushing is?

Bill Chen and Jerrod Ankenman gave an answer in their book Mathematics of Poker. In their theory of doubling up, they create a model where the edge can be quantified as a constant. This constant represents your average chance of doubling up your stack in a tournament. If you have played hundreds or thousands of tournaments, you can get a rough idea of your own constant by using the following formula :


where ROI is your Return on Investment and FS is the Field Size.

Your edge is below 0.5 : actually you are not a winning player, but you already knew that : your ROI is not good enough. In tournament poker, you can learn to use your cards, your position or your chips to improve your game.
Your edge is between 0.50 and 0.57 : now we're talking, you definitely have an edge, and there are times when you should consider folding rather than risking your whole stack on a slight edge. The best example of this behaviour is Daniel Negreanu, in his smallball approach to build a stack of chips.
Your edge is above 0.57 : I'm sorry, but practice shows that no one, not even Phil Ivey, can claim to have a constant edge above 57% over any field. Maybe you miscalculated, maybe your tournament sample is too small, or maybe you are a successful one-table sit-and-go player that crushes the lower limits. In this case, a +100% ROI, linked to the small field size, can compute an edge around 62%. Again, practice shows that such an edge cannot be maintained when one climbs up the buy-in ladder.

Chen and Ankenman's model is fairly accurate. Knowing when to play and when not to play is what poker is all about, which is why playing poker is clearly a game of skill.

Le jeu de la bataille des cartes identiques

En prélude à de nouveaux dénombrements sur le poker, qui vont m'amener à faire des calculs où je devrai être méticuleux pour ne pas laisser d'erreur de calcul ou de raisonnement s'immiscer, je vais vous parler aujourd'hui d'une méthode de dénombrement utilisée en mathématique, le principe d'inclusion-exclusion.

Vous avez un ensemble de A éléments, que vous cherchez à classifier selon certaines propriétés, dont vous faites une liste complète. Je vais noter A(k) le nombre d'éléments de l'ensemble qui possèdent au moins k propriétés de la liste. Le principe d'inclusion-exclusion affirme qu'on peut alors calculer le nombre d'objets de l'ensemble qui n'en possèdent aucune (aucune propriété de la liste), selon la formule :
A - A(1) + A(2) - A(3) + ... + (-1)^k * A(k) + ... + (-1)^n * A(n)
où n représente le nombre de propriétés qu'on a listées.

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Je vais prendre un exemple visuel pour illustrer ce qu'on calcule.
J'ai un ensemble de huit objets, parmi lesquels je souhaite compter combien ne sont ni un chat, ni ne sont verts. Je liste donc deux propriétés :
- être vert;
- être un chat.
Puis, je compte :
A : 8 éléments dans l'ensemble A.
A(1) : 3 éléments sont verts et 2 éléments sont un chat, ce qui fait 5 objets comptés.
A(2) : 1 élément est un chat vert.
Le nombre d'éléments qui ne sont ni chat ni vert vaut : 8 - 5 + 1 = 4

Regardons le dessin : un ballon rouge, un bateau rouge, un crayon rouge et un bateau jaune sont ces quatre objets.

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Comme je suppose que cet exemple ne suffit pas à vous bluffer, prenons-en un autre. Prenons l'ensemble des nombres entiers entre 1 et 100, et cherchons combien parmi eux sont premiers avec 6. Pour ceux qui n'ont pas fait d'arithmétique, deux nombres sont premiers entre eux lorsqu'ils n'ont aucun diviseur commun, sauf 1 qui divise tout le monde (il s'agit de division sur l'ensemble des entiers : le quotient doit être un entier et le reste nul). Comme 6 a deux diviseurs, 2 et 3, on va utiliser les deux propriétés :
- être divisible par 2;
- être divisible par 3.

Comptons :
A : 100 éléments;
A(1) : 50 éléments sont divisibles par 2, et 33 éléments sont divisibles par 3, ce qui fait 83.
A(2) : être divisible par 2 et divisible par 3, c'est être divisible par 6, il y a 16 éléments divisibles par 6.
Résultat : 100 - 83 + 16 = 33

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Je vais terminer par un exemple plus compliqué, mais dont le résultat vous intéressera, puisqu'il permet de faire un pari idiot, contre-intuitif, et à votre avantage. En tout cas, c'est parfait pour jouer à qui paiera l'addition avec un ami.

Le jeu est le suivant : prenez deux paquets de cartes (52 cartes), faites-les mélanger un par un à votre ami, puis prenez chacun un paquet. Vous allez retourner simultanément une carte, comme à la bataille. Si les deux cartes sont différentes, vous continuez. Si les deux cartes sont identiques (Sept de Coeur et Sept de Coeur), le jeu est terminé : vous gagnez le pari et votre ami paie l'addition. Si à la fin du paquet, aucune bataille n'a eu lieu, c'est vous qui payez l'addition.

Alors c'est parti : notre ensemble décrit les mélanges. Un mélange est une application f, qui à une carte donnée qui se trouvait en position i avant le mélange, associe une nouvelle position f(i) après le mélange. i varie entre 1 et 52, et f(i) aussi.

Notre liste de propriétés est très simple, puisqu'il n'y en a qu'une (mais elle peut être réalisée plusieurs fois):
- il existe une valeur de i pour laquelle f(i)=i.

A : le nombre de mélanges est le nombre de permutations sur un ensemble de 52 éléments, et vaut 52! (factorielle 52, c'est à dire 52x51x50x49x...x3x2x1. C'est un très grand nombre, mais nous n'avons pas besoin de l'évaluer autrement pour l'instant).
A(i) : Pour calculer A(i) : on choisit i cartes parmi 52, cela vaut C(52,i), puis on dispose les (52-i) cartes restantes par n'importe quel mélange, ce qui vaut (52-i)!. [Ainsi, A(i) comptabilise les mélanges qui laissent i cartes à la même place, mais il comptabilise aussi (et plusieurs fois) des mélanges qui laissent davantage de cartes à la même place. La somme des (-1)^i*A(i) jusqu'à A(52) fera disparaître les termes qui ont été comptés plusieurs fois]. Grâce à l'expression factorielle de C(52,i), le produit des deux simplifie l'expression : A(i) = C(52,i)*(52-i)! = [52!/i!(52-i)!]*(52-i)! = 52!/i!

Le nombre de mélanges pour lesquels aucune carte ne reste en place (également appelés des dérangements) vaut donc


En mettant en facteur 52!, on obtient :


L'expression entre parenthèses est la somme partielle des 53 premiers termes de la série (-1)^k/k!, qui converge très rapidement vers 1/e (l'erreur est inférieure à 1/53!, c'est dire qu'on a largement plus de décimales que ce dont on a besoin). e est la base des logarithmes népériens, c'est un nombre irrationnel qui vaut environ 2,718. Notre expression calculée est donc très proche de 52!/e.

Probabilité de tomber sur un dérangement : (52!/e)/52! = 1/e = 36,79%

Quand le mélange est un dérangement, c'est vous qui payez l'addition. Dans les autres cas (63,21%), deux cartes identiques vont apparaître, l'addition est pour votre ami.

Compter, compter, compter

Suite à mon billet d'hier, un lecteur (eiffel, http://eiffel38.blogspot.com/) m'a écrit à propos du calcul qui permet d'obtenir ce résultat : "à une table de neuf joueurs, la probabilité qu'on vous distribue, dans les deux tours de table qui viennent, au moins une fois une main parmi {AA-TT, AK, AQs} est d'environ 1 sur 2". Je vais donc détailler ce calcul, en espérant être aussi clair dans mes explications que Brian Alspach, brillant universitaire, mathématicien, et amateur de poker.

Je vais présenter deux démonstrations : l'une fait un calcul par étapes, mais correspond à un raisonnement facile. L'autre résout le problème de façon directe, subtile et brutale : une de ces formules qui conforte les mathématiciens dans l'idée que les mathématiques sont pures, artistiques et universelles.

Première démonstration. Il s'agit de compter les fois où, en dix-huit donnes, soit dix-huit tirages indépendants, on aura au moins une fois AA, KK, QQ, JJ, TT, AKs, AKo ou AQs. Je note ce range R.

Nombre de mains de départ au Hold'em : N = C(52,2)=52*51/2=1326. As de Pique et Roi de Coeur est une main différente d'As de Carreau et Roi de Trèfle, chacune compte pour une main.

Nombre de mains qui nous intéressent : n= 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 4 + 12 + 4 = 50. Six paires possibles, quatre As-Roi colorés, douze dépareillés, quatre As-Dame colorés.

La fraction qui nous intéresse est donc P = n / N = 50 / 1326, ce qui fait 3,8%; que j'avais appelé "top 4%".

La probabilité de toucher un main du range R en une donne est notée P(1), en deux donnes est notée P(2), et ainsi de suite jusqu'à P(18).

P(1) = P ; ça c'est facile.

Pour déterminer P(2), il faut compter les cas où l'on a touché à la première donne, et ceux où l'on n'a pas touché à la première donne mais où l'on a touché à la seconde. Ainsi, on est certain de tout compter (y compris les cas où l'on a touché les deux fois!).

P(2) = P(1) + (1-P(1))*P.

P(3) = P(2) + (1-P(2))*P.

...

P(18) = P(17) + (1-P(17))*P.

On a obtenu beaucoup d'équations avec beaucoup d'étapes intermédiaires, mais qui se calculent très facilement, quand on est paresseux, avec un tableur (grâce aux copier-coller de formules qui déplacent les valeurs de référence). On obtient P(18) = 49,9%.

Seconde démonstration. Il s'agit de remarquer qu'il n'y a que deux possibilités : ou bien on touche au moins une fois l'un de ces mains en 18 donnes, ou bien cela n'arrive aucune fois en 18 donnes - ces deux événements forment une partition, ils sont complémentaires en termes de probabilités.

Nous allons calculer la probabilité d'avoir une main qui n'est pas dans R, n fois, que je vais noter F(n) - F pour fold. F(1) = 1-P. La probabilité d'avoir deux fois une main qui n'est pas dans R est F(2) = (1-P)*(1-P). Trois fois : F(3) = (1-P)*(1-P)*(1-P). Dix-huit fois : F(18) = (1-P)*(1-P)*...*(1-P), avec dix-huit facteurs identiques. Pour écrire tout ça de façon plus compacte, on va utiliser la notation puissance, respectivement F(2)=(1-P)^2; F(3)=(1-P)^3; F(18)=(1-P)^18.

De ces deux paragraphes, on déduit P(18) = 1 - F(18) = 1 - (1-P)^18. Ou, dans le cas général à n tirages : P(n) = 1 - (1-P)^n.

En modifiant les paramètres P (range de mains) et n (nombre de donnes à patienter), on obtient des résultats très intéressants, et parfois étonnants. Vous pourrez lire ci-dessous un extrait du tableau complet que j'ai réalisé, avec P jusqu'à 10% et n jusqu'à 10. Cadeau bonus.

No-push equity : l'espérance d'attendre

L'espérance de ne pas faire tapis : voilà un terme bien alambiqué! En fait, l'espérance de passer aurait très bien convenu, à ce détail près que le terme fold equity est utilisé dans un autre sens dans la littérature pokeristique anglophone.

En tournoi, il arrive qu'à un moment ou à un autre, vous vous retrouviez avec un petit tapis. Les définitions du petit tapis diffèrent selon l'appréciation des uns et des autres, alors je vous donne la mienne : un petit tapis est réduit à la plus simple des stratégies du Texas Hold'em. Ou bien il passe sa main préflop, ou bien il relance et s'engage irrémédiablement. Le petit tapis n'a pas la possibilité de réaliser plusieurs tours de mise, que ces mises soient en progression géométrique ou arithmétique.

Alors, en fonction de la taille du tapis par rapport aux blindes, en fonction de la position, et en fonction des cartes en main, il faut prendre cette décision binaire : jouer ou ne pas jouer.

L'espérance de jouer est facile à calculer : vous combinez les cas où vous ne serez pas payé (vous prenez les blindes, croupier main suivante s'il vous plaît) avec ceux où vous serez payé, que l'on pondère par vos chances de remporter le coup à l'abattage.

Que vaut l'espérance de ne pas jouer? En plus de vingt ans de littérature au poker, les auteurs ont balayé d'un revers de la main cette problématique, en énonçant une réponse triviale : l'espérance de ne pas jouer vaut zéro. Ont-ils calculé quelque chose? Est-ce un postulat? En fait, c'est la réponse naturelle qui vient à l'esprit de l'homme : "Si je ne fais rien, je ne modifie pas ma situation."

Or, cette assertion est fausse à la table de poker. Pour s'en convaincre, il suffit de considérer les situations très distordues que l'on peut rencontrer, par exemple, à la bulle en tournoi satellite. Vous avez un tapis énorme, choisir de jouer pourrait vous faire perdre, tandis que choisir de ne pas jouer vous qualifie sans aucun risque. L'espérance de ne pas jouer vaut-elle zéro? Non, ne pas jouer a une valeur positive, parfois supérieure à l'espérance de jouer une paire d'As.

Mais revenons au tournoi classique, et à la situation de petit tapis. Que vaut votre espérance de passer? En passant, vous aurez une nouvelle donne, deux nouvelles cartes en main, peut-être une premium, ou tout simplement une meilleure main que celle avec laquelle vous être en train d'hésiter en ce moment précis. Cette situation arrivera avec une certaine probabilité : avec quelques calculs très simples, on peut évaluer nos chances d'avoir une meilleure situation dans les prochaines mains à venir. Peut-on attendre trois mains, un tour de table, deux tours de table? Il s'agit de peser le pour et le contre : contre, attendre coûte des jetons, et votre tapis s'érode inéluctablement. Pour, pouvoir miser son tapis en situation favorable est l'une des clés pour être un joueur gagnant sur le long terme.

Etude d'un cas pratique : vous êtes à une table de neuf joueurs. Quelle chance avez-vous de toucher une main parmi {AA, KK, QQ, JJ, TT, AKs, AKo, AQs}, dans les deux tours de table qui viennent? La réponse vous surprendra peut-être : une chance sur deux. Pour un range de top 4%.

En établissant la solution de ce problème pour le cas général, on peut mieux comparer les espérances en jetons de notre choix stratégique : jouer tout de suite avec ce qu'on a, ou attendre un certain temps pour jouer dans de meilleures conditions.

Back Ongame

En décembre dernier, j'avais du dépenser de vieux miles obtenus sur le réseau Ongame, qui allaient, pour une raison marketing que j'ignore, être invalidés à la fin de l'année. J'ai donc choisi une superbe lunette astronomique parmi les goodies proposés, et j'ai complété par un ticket de tournoi à $33.

Ce n'est qu'au mois de février que je me suis connecté avec l'intention de jouer ce tournoi. Il faut dire que j'avais mal choisi : la liste des tournois à $33 ne me convient pas, soit pour une question d'horaires (débuter un tournoi à 16h m'est impossible dans l'emploi du temps de la journée), soit pour une question de structure (faire un satellite turbo - 3 minutes - pour un ChampionChip, non merci). Alors, j'ai fait un tournoi un soir, shorthanded. Je termine dans les prix, sans avoir eu trop de cartes, ni de situations favorables sans cartes.

Depuis, j'ai fait quelques petits tournois : un Pot-Limit Omaha à $5.5, un Limit Seven-HiLo à $22 et un Pot-Limit Omaha-HiLo à $5.5. Que des ITM, et une victoire en Omaha. Un cinquième tournoi devrait s'ajouter à cette liste (et un cinquième ITM malgré une déconnexion en fin de tournoi, pour un blind-out peu avant la table finale), mais il n'apparaît pas sur mon OPR.



Alors, je me contente de quatre sur quatre, et de voir si je peux continuer sur cette tendance. Back Ongame.

Borgne au royaume des aveugles?

Au poker, chaque main, chaque session, chaque erreur, chaque défaite est une source d'enseignements. J'ai joué en PLO50HU, avec de bons résultats - c'est à dire que j'ai bien joué mais j'ai pris quelques 95-5, surtout quand votre adversaire croit que ses deux As blancs ont une chance face à votre brelan et vos deux tirages flush backdoor. Quoi qu'il en soit, le nombre de mains est trop faible pour avoir une signification de quoi que ce soit sur le long terme.

J'ai joué deux parties en NL200-9, histoire de voir. QQ < AA joué en smallball de part et d'autre, hop 1/2 cave, quinte floppée face à carré turné, hop une cave, rien à signaler. J'ai considéré que je n'avais plus le niveau en CG Texas. Ce jeu m'a pourtant rapporté beaucoup par le passé, mais je dois me rendre à l'évidence : peut-être étais-je borgne au royaume des aveugles lorsque les joueurs débutaient à ce jeu il y a quelques années, et que, avec le temps et les sources d'informations, les autres se sont améliorés. Tandis que je stagnais, certains m'ont dépassé à vitesse grand V. Je n'ai désormais aucune chance de combler mon retard. Vous pourrez lire mes bonnes stats de fish sur ce jeu sur les sites ad hoc.

Alors, dois-je arrêter le poker (avant la ruine, s'entend!) ? Heureusement non, il me reste des niches où j'ai encore un avantage sur la majeure partie du champ. En tournoi, je remonte progressivement la pente de mon ROI négatif - essentiellement creusé par des tournois à $215 en Razz ou en NLHE, aux tickets obtenus pour une trentaine de dollars en moyenne, où je n'ai jamais fait d'ITM malgré deux bons deep runs en Razz. Au menu : tournois à champ réduit, SnG à une ou plusieurs tables, Steps, satellite en deux tables pour le Sunday Millions et le beau tournoi $3.30 rebuy à 180 joueurs, où beaucoup de joueurs n'ont pas compris ce qu'est un rebuy et comment ce tournoi doit être joué. En outre, la structure rapide justifie un paquet de moves très cEV- de vos adversaires (comme des pushs idiots, sans fold equity réelle dès que votre adversaire a une main qui ressemble de près ou de loin à une paire, un As, un Roi, deux cartes supérieures au Neuf, ou un connecteur coloré). On voit des calls à tapis préflop avec une petite paire contre deux adversaires. Du grand n'importe quoi, mais après tout, si les mecs aiment miser leurs jetons avec entre 20% et 28% de chances de gagner le coup, grand bien leur fasse. Conseil de Gus Hansen : quand tu as des jetons, contente-toi de payer un tapis en fonction de la cote du pot.

Côté cash-game, j'ai entrepris d'attaquer les tables de 8-game, profitant du fait qu'il est désormais interdit (ils font bien les choses chez PS) de choisir ses jeux, en alternant sit-in et sit-out tout au long des orbites. Résultat : j'ai un bon niveau général en 8-game, et quelques sessions me l'ont confirmé. Je joue en $10-$20, six joueurs par table. Dans l'ordre, les jeux sont L2-7, LHE, LO8, LRazz, L7Stud, L7StudHiLo, NLHE, PLO. Six mains par jeu, et ça tourne. Ce matin, je me suis posé en 20-40 avant de me rendre compte que je m'étais gourré de limite, heureusement j'ai pu clore rapidement la session sur un petit gain - ça m'étonnait aussi, les tapis à la table semblaient disproprotionnés. Au-delà de la qualité de mon jeu, je trouve d'autres avantages à ces tables : il n'y a pas de tracker pour ces jeux, et d'ailleurs les résultats ne sont pas trackés non plus sur TableRatings. Je conserve donc mon profil de fish dans les bases, je remercie le NLH, et les badbeats d'Omaha, pour bien parler de ma fishitude.

Et, chose qui n'est pas pour me déplaire en ces temps difficiles, la bankroll affiche un résultat de +$850. Je commence presque à rentrer dans les clous de la gestion de bankroll - dès que je rentre de façon stable dans la zone à quatre chiffres, je vous fais signe.

Et, je remercie tous ceux qui prennent régulièrement de mes nouvelles, pour leur sollicitude.